用 V-T 图像解题

——在摩擦力做功与碰撞问题中的应用

高中物理专题精讲

一、V-T 图像的基础要素

速度-时间图（V-T 图）是高中物理的核心运动图像。横轴为时间 t，纵轴为速度 v，通过几何特征直接读取加速度、位移等物理量，在摩擦力做功和碰撞两大类问题中尤为有效。

1.1 图像的核心含义

图1  V-T图的三个核心要素：斜率→加速度，面积→位移，截距→初速度

1.2 位移的几何计算

V-T 图线下方与时间轴围成的面积即为位移。注意横轴以下面积为负位移（反向运动）。

● 矩形面积 = v × t　（匀速段位移）

● 三角形面积 = ½ × v₀ × t₁　（匀减速到零的位移）

● 梯形面积 = ½(v₁ + v₂) × t　（初末速度非零的匀变速位移）

x = ½(v₀ + v) · t   ←  梯形面积公式，可直接从图读取

⚠️ 注意区分"面积=位移"与"面积=路程"：若图线穿过横轴（物体反向），两侧面积相减才是位移，两侧面积相加才是路程。

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二、V-T 图像在摩擦力做功中的应用

2.1 单物体匀减速运动（滑行问题）

物体在摩擦力作用下做匀减速直线运动直至停止，V-T 图为从 v₀ 斜降至零的一条直线。三个关键量均可从图形读取。

图2  物体在摩擦力作用下匀减速停止的V-T图：三角形面积即滑行距离

三步读图法

第①步  从斜率求加速度（摩擦系数）：

|a| = |k| = v₀/t₁ = μg   →   μ = v₀ / (g · t₁)

第②步  从三角形面积求滑行距离：

x = ½ × v₀ × t₁　（图线与时间轴围成的三角形面积）

第③步  求摩擦力做的功：

W_f = -f · x = -μmg · x = -μmg · ½v₀t₁

验证：由动能定理 W_f = ΔEk = 0 - ½mv₀²，二者应相等。

例题1  滑动摩擦力做功

【题目】  质量 m = 2 kg 的木块以初速 v₀ = 6 m/s 在水平面滑动，动摩擦因数 μ = 0.3，g = 10 m/s²。作出 V-T 图，求：(1) 滑行时间 t₁；(2) 滑行距离 x；(3) 摩擦力做的功 W_f。

【解】

V-T 图：从 (0, 6) 到 (t₁, 0) 的直线段（斜率为负）

a = -μg = -0.3 × 10 = -3 m/s²

t₁ = v₀/|a| = 6/3 = 2 s

x = ½v₀t₁ = ½ × 6 × 2 = 6 m　（三角形面积）

W_f = -μmg·x = -0.3 × 2 × 10 × 6 = -36 J

验证：ΔEk = 0 - ½×2×6² = -36 J  ✓

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2.2 两物体通过摩擦作用最终共速

两个物体（如传送带与物体、叠放木块）因摩擦相互作用，初速不同，最终达到共同速度。V-T 图中两条直线汇聚于一点。

图3  两物体摩擦作用达共速的V-T图：两图线围成面积即相对位移

关键结论

① 共速时刻：两图线交点的横坐标 t_共 即为达到共速的时刻，交点纵坐标即共速 v_共。

② 相对位移（最重要结论）：

Δx = x_A - x_B = S_A - S_B = 两图线与t轴之间面积之差 = 两图线围成的封闭图形面积

③ 系统产热：

Q = f · Δx = μmg · (x_A - x_B)

⚠️ 关键细节：是两图线围成的面积（梯形或三角形），而非两个图线下面积分别计算再相减后的绝对值——但结果相同，理解概念更重要。

例题2  传送带问题

【题目】  质量 m = 3 kg 的物体以 v₀ = 8 m/s 放上速度为 2 m/s 的传送带，μ = 0.4，g = 10 m/s²。用 V-T 图求物体从放上到共速过程中的产热量 Q。

【解】

物体 A（木块）：初速 8 m/s，加速度 a_A = -μg = -4 m/s²（减速）

传送带 B：始终 2 m/s（水平图线）

共速方程：8 - 4t = 2   →   t_共 = 1.5 s，v_共 = 2 m/s

x_A = 8×1.5 - ½×4×1.5² = 12 - 4.5 = 7.5 m

x_B = 2×1.5 = 3 m

Δx（两图线围成面积）= 7.5 - 3 = 4.5 m

Q = μmg·Δx = 0.4×3×10×4.5 = 54 J

答：产热 Q = 54 J

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三、V-T 图像在碰撞问题中的应用

3.1 一般碰撞过程分析

碰撞是极短时间内两物体交换动量的过程，可近似视为速度瞬间跳变。V-T 图中碰撞表现为图线的"断点"：碰前为一条线，碰后跳变至另一高度，再继续匀速或受其他力运动。

图4  一般碰撞前后的V-T图：A减速（碰后速度降低）、B加速（碰后速度升高）

从 V-T 图判断碰撞合法性

例题3  弹性碰撞

【题目】  m_A = 4 kg，v_A0 = 6 m/s 的滑块碰撞静止的 m_B = 2 kg 滑块，碰后 V-T 图显示 v_A' = 2 m/s。验证动量守恒，求 v_B' 并判断碰撞类型。

【解】

由动量守恒：4×6 = 4×2 + 2×v_B'   →   v_B' = 8 m/s

合法性验证：v_A' = 2 < v_B' = 8  ✓（A未超越B）

Ek_前 = ½×4×36 = 72 J

Ek_后 = ½×4×4 + ½×2×64 = 8 + 64 = 72 J

答：v_B' = 8 m/s；ΔEk = 0，为完全弹性碰撞（无动能损失）

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3.2 完全非弹性碰撞（合并运动）

两物体碰后粘在一起，以相同速度运动。这是动能损失最大的碰撞类型。V-T 图中碰后两图线合并为一条水平线，其高度由动量守恒唯一确定。

图5  完全非弹性碰撞V-T图：碰后合并为一条图线，v'由动量守恒确定

核心公式

v' = (m_A·v_A0 + m_B·v_B0) / (m_A + m_B)   ← 共速公式

ΔEk = -½·(m_A·m_B)/(m_A+m_B)·(v_A0-v_B0)²   ≤ 0   ← 动能损失

�� 从V-T图读取v'的位置：v'总是介于v_A0和v_B0之间，越靠近质量较大的物体速度，说明该物体质量更大（质心思想）。

例题4  子弹打木块

【题目】  m_A = 3 kg 的物体以 v_A0 = 4 m/s 碰撞静止的 m_B = 12 kg 木块并嵌入其中。由 V-T 图求共速 v' 及动能损失 ΔEk。

【解】

v' = (3×4 + 12×0) / (3+12) = 12/15 = 0.8 m/s

Ek_前 = ½×3×16 = 24 J

Ek_后 = ½×15×0.64 = 4.8 J

ΔEk = 4.8 - 24 = -19.2 J

答：v' = 0.8 m/s；动能损失 19.2 J（转化为内能和声能）

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四、综合应用：碰后继续受摩擦力

实际题目中，两物体碰撞后常继续在粗糙地面滑行，需用 V-T 图分两段处理：① 碰撞段（动量守恒，速度突变）→ ② 滑行段（V-T 图斜线直至停止）。

例题5  碰后摩擦滑动

【题目】  m_A = 1 kg（v₀ = 10 m/s）与 m_B = 4 kg（静止）发生完全非弹性碰撞，碰后在 μ = 0.25 的地面滑动，g = 10 m/s²。分两段作 V-T 图，求共速 v' 与碰后滑行距离 x。

【解】

第一段（碰撞，动量守恒）：

v' = (1×10)/(1+4) = 2 m/s　← 碰后 V-T 图起点

第二段（摩擦减速，斜线段）：

a = -μg = -0.25×10 = -2.5 m/s²

t_滑 = v'/|a| = 2/2.5 = 0.8 s

x_滑 = ½v'·t_滑 = ½×2×0.8 = 0.8 m　（三角形面积）

答：共速 v' = 2 m/s；碰后滑行 x = 0.8 m

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五、解题方法总结与常见误区

5.1 方法汇总表

5.2 高频错误与纠正

❌ 错误1：两图线围成的面积 = 摩擦力做的功

✅ 正确：两图线围成面积 = 相对位移 Δx，产热 Q = f·Δx（还要乘以摩擦力大小）

❌ 错误2：碰后 v_A' > v_B'，认为 A 追上了 B 是正常的

✅ 正确：同向碰撞后追赶物速度不能超过被碰物，否则两物体"穿越"，违反物理规律

❌ 错误3：图线穿过横轴（速度变负）时，仍用 x = 面积（正值）

✅ 正确：横轴以下面积取负值，总位移 = 上方面积 - 下方面积；总路程 = 上方面积 + 下方面积

❌ 错误4：V-T 图斜率之比 = 加速度之比 = 合力之比（忽略质量不同）

✅ 正确：斜率=加速度，F=ma，质量不同时加速度之比 ≠ 合力之比，需结合牛顿第二定律

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六、小结

V-T 图是高中物理中集"读、算、判"于一体的强力工具，四个核心关系贯穿所有相关题型：

● 斜率 ↔ 加速度：联系摩擦系数 μ 与合力大小

● 面积 ↔ 位移：单物体求滑行距离，双物体求相对位移（进而求产热）

● 交点 ↔ 共速时刻：判断传送带共速或碰后状态

● 图线跳变 ↔ 碰撞：快速读取碰前碰后速度，再用动量守恒和能量关系验证

建议解题时首先作出规范的 V-T 草图，标明斜率（加速度）、关键时刻和面积区域，再有序列写方程。这样可以避免大量动力学方程的推导，大幅提高解题效率。

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